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14.一类带Hardy—Littlewood-Sobolev临界指数项和不定线性项的Choquard方程解的存在性
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王玲 王非之
摘要:本文考虑以下线性Choquard 方程:\begin{equation*} -\Delta u +V(x)u =K(x)(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u|^{2^{*}_{\mu}}}{|x-y|^{\mu}}dy)|u|^{2^{*}_{\mu}-2}u + g(x,u) \quad x \in \mathbb{R}^{N},\end{equation*}其中$N \geq 3$, $0<\mu<N$, $ 2^{*}_{\mu}$ 是Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的临界指数. V(x)是连续函数且$-\Delta+V(x)$在空间$L^{2}(R^{N})$中的谱点$\sigma(-\Delta+V(x))$有负值, K(x)是有界正函数, g 是次临界增长. 本文通过变分法得到了方程非平凡解的存在性. 作出以下假设:$ $\\$(V_{1})$: $V(x)\in C(\mathbb{R}^{N})\bigcap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$, $\liminf_{| x |\rightarrow \infty} V(x)=v_{\infty} >0.$\\$(V_{2})$: $(W_{1}(x)-v_{\infty}) \in L^{N/2}(\mathbb{R}^{N})$, $0\notin \sigma(-\Delta+V)$, $\sigma(-\Delta+V)\bigcap (-\infty,0)\neq \emptyset$,$\quad$ 其中 $\sigma$ 表示空间 $L^{2}(\mathbb{R}^{N})$中的谱点, $W_{1}(x)=max\{V(x),v_{\infty}\}.$\\$(K_{1})$: $K(x)\in C(\mathbb{R}^{N})$ 在0处达到最大值. $K_{M}:=K(0)=\max_{\mathbb{R}^{N}}K(x)$,$\quad$存在正常数 $K_{min}$, $\alpha$使得$K(x)\geq K_{min}$, $K(0)-K(x)=O(|x|^{\alpha})$.\\$(G_{1})$: $g\in C(\mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ,$|g(x,s)| \leq \omega(x)|s|+h(x)|s|^{p-1}$, 其中 $\omega(x)$$\in L^{N/2}(\mathbb{R}^{N})$$\quad$ $\bigcap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$, $2<p<$ $2^{*}$, $h(x)\in L^{\frac{2^{*}}{2^{*}-P}}(\mathbb{R}^{N})\bigcap L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}).$\\$(G_{2})$: 对任意的 $x \in \mathbb{R}^{N}$,$ g(x,s)/s$关于$s$一致收敛到$0$.\\$(G_{3})$: $0\leq 2G(x,s)\leq sg(x,s)$ a.e. $x \in \mathbb{R}^{N}, \forall s \in \mathbb{R},$ 其中 $G(x,s):=\int_{0}^{s}g(x,t)dt.$$ $